Giải tích Ví dụ

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

Bước 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

Bước 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Bước 2.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 2.2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 2.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Bước 2.2.6.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Bước 2.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Vì $25$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $25 (x^{2} - y^{2})$ đối với $x$ là $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Bước 2.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Bước 2.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Bước 2.3.1.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Bước 2.3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $2$ với $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $- 2$ với $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Bước 2.3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 50 y y' + 50 x$

Bước 2.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.3

Khai triển $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.5

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.6

Nhân $4$ với $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.7

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.7.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.7.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.7.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.7.3

Cộng $2$ và $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.1.4.8

Nhân $4$ với $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Bước 2.5.2

Cộng $50 y y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Bước 2.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Trừ $8 x^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Bước 2.5.3.2

Trừ $8 x y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Bước 2.5.4

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Bước 2.5.4.2

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Bước 2.5.4.3

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Bước 2.5.4.4

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Bước 2.5.4.5

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Bước 2.5.5

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ cho $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ cho $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.5.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.5.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.5.5.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $50$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Bước 2.5.5.3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Bước 2.5.5.3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.1.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Bước 2.5.5.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Bước 2.5.5.3.2

Để viết $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Bước 2.5.5.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.3.1

Nhân $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ với $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Bước 2.5.5.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.6

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.6.1

Di chuyển $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.6.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.7

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.7.2

Đưa $x$ ra ngoài $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.7.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.7.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.7.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.9

Viết lại $25$ ở dạng $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.3.13.1

Viết lại $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ ở dạng $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.5.5.3.13.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 2.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho tử bằng không.

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

Bước 3.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Bước 3.2.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.2.3

Đặt $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đặt $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ bằng với $0$ .

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Bước 3.2.3.2

Giải $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1.1

Cộng $25$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

Bước 3.2.3.2.1.2

Trừ $4 y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

Bước 3.2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Bước 3.2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Bước 3.2.3.2.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Bước 3.2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.2.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

Bước 3.2.3.2.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.2.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

Bước 3.2.3.2.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

Bước 3.2.3.2.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

Bước 3.2.3.2.2.3.1.2.4

Chia $- y^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

Bước 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

Bước 3.2.3.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.4.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

Bước 3.2.3.2.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

Bước 3.2.3.2.4.3

Viết lại $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ ở dạng ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

Bước 3.2.3.2.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{5}{2}$ và $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

Bước 3.2.3.2.4.5

Để viết $y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Bước 3.2.3.2.4.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.4.6.1

Kết hợp $y$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Bước 3.2.3.2.4.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Bước 3.2.3.2.4.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Bước 3.2.3.2.4.8

Để viết $- y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

Bước 3.2.3.2.4.9

Kết hợp $- y$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

Bước 3.2.3.2.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

Bước 3.2.3.2.4.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

Bước 3.2.3.2.4.12

Nhân $\frac{5 + 2 y}{2}$ với $\frac{5 - 2 y}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.2.3.2.4.13

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

Bước 3.2.3.2.4.14

Viết lại $\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.4.14.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

Bước 3.2.3.2.4.14.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

Bước 3.2.3.2.4.14.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

Bước 3.2.3.2.4.15

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

Bước 3.2.3.2.4.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Bước 3.2.3.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Bước 3.2.3.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.