Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.1.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 1.1.4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $\frac{1}{x^{2} + 1}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{1}{{(0)}^{2} + 1}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Bước 4.1.2.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{1}$

Bước 4.1.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$1$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 1)$

Bước 5