Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 1.1.1.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} x$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Bước 1.1.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Bước 1.1.3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{2}$ và $x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Bước 1.1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Bước 1.1.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Bước 1.1.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

Bước 1.1.3.6.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - x$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Cộng $0$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - x$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- x + \frac{1}{3}$ .

$- x + \frac{1}{3}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- x + \frac{1}{3} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- x + \frac{1}{3} = 0$

Bước 2.2

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - \frac{1}{3}$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $- x = - \frac{1}{3}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - \frac{1}{3}$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Bước 2.3.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Bước 2.3.3.2

Chia $\frac{1}{3}$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\frac{1}{3}$ bằng $x$ .

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nhân $\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.1.2

Nhân $3$ với $3$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Bước 4.1.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Bước 4.1.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.5.1

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{1}{2}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

Bước 4.1.2.1.5.2

Nhân $9$ với $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.2.3

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.2.4

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.2.5

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.2.6

Sắp xếp lại các thừa số của $9 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.2.7

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Nhân $4$ với $18$ .

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

Bước 4.1.2.4.2

Cộng $72$ và $2$ .

$\frac{74 - 1}{18}$

Bước 4.1.2.4.3

Trừ $1$ khỏi $74$ .

$\frac{73}{18}$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

Bước 5