Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{5}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $5$ với $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 10 x^{3}$ đối với $x$ là $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Bước 1.1.4.3

Nhân $15$ với $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Bước 2.2

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $15$ ra ngoài $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Đưa $15$ ra ngoài $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Bước 2.3.1.2

Đưa $15$ ra ngoài $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Bước 2.3.1.3

Đưa $15$ ra ngoài $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Bước 2.3.1.4

Đưa $15$ ra ngoài $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Bước 2.3.1.5

Đưa $15$ ra ngoài $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Bước 2.3.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Bước 2.3.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 2.3.2.3

Viết lại đa thức này.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 2.3.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Bước 2.4

Chia mỗi số hạng trong $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ cho $15$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ cho $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Bước 2.4.2.1.2

Chia ${(u - 1)}^{2}$ cho $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Bước 2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Chia $0$ cho $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Bước 2.5

Đặt $u - 1$ bằng $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 2.6

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 2.7

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = 1$

Bước 2.8

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 2.8.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 2.8.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 2.8.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 2.8.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Bước 4.1.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- 10$ với $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $15$ với $1$ .

$3 - 10 + 15$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Trừ $10$ khỏi $3$ .

$- 7 + 15$

Bước 4.1.2.2.2

Cộng $- 7$ và $15$ .

$8$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Bước 4.2.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Bước 4.2.2.1.4

Nhân $- 10$ với $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Bước 4.2.2.1.5

Nhân $15$ với $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Cộng $- 3$ và $10$ .

$7 - 15$

Bước 4.2.2.2.2

Trừ $15$ khỏi $7$ .

$- 8$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Bước 5