Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

Bước 1.1.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Bước 2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

Bước 2.2.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ .

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

Bước 2.2.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ .

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $3 x^{2} + x + 1$ cho $1$ .

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

Bước 2.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.2.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.3

Trừ $12$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.4

Viết lại $- 11$ ở dạng $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (11)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.2.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.3

Trừ $12$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.4

Viết lại $- 11$ ở dạng $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (11)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.7.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.7.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

Bước 2.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

Bước 2.7.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.2.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.3

Trừ $12$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.4

Viết lại $- 11$ ở dạng $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (11)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.8.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.8.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.8.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

Bước 2.8.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

Bước 2.8.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Bước 2.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào