Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 3}{2 x^{2} + 2 x + 4}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.2.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 2.5

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 6.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 + 2 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{0 - 3 \cdot 0}{2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 10.1.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 10.1.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{0}{2 + 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 10.2.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0}{2 + 0 + 0}$

Bước 10.2.3

Cộng $2 + 0$ và $0$ .

$\frac{0}{2 + 0}$

Bước 10.2.4

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{0}{2}$

Bước 10.3

Chia $0$ cho $2$ .

$0$