Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{x - 4}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để viết $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4}$

Bước 1.2

Để viết $- \frac{4}{x - 4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

Bước 1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ với $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

Bước 1.3.2

Nhân $\frac{4}{x - 4}$ với $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.3

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8.1.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8.1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8.1.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{4 - 4 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8.1.4

Nhân $- 4$ với $0$ .

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.2.8.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Bước 2.1.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Bước 2.1.3.3

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Bước 2.1.3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}$

Bước 2.1.3.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}$

Bước 2.1.3.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

Bước 2.1.3.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

Bước 2.1.3.7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

Bước 2.1.3.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.8.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{0}{(4 - 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

Bước 2.1.3.8.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

Bước 2.1.3.8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.8.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}$

Bước 2.1.3.8.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

Bước 2.1.3.8.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 2)}$

Bước 2.1.3.8.4

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Bước 2.1.3.8.5

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.8.6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.9

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.4

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{2}} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.11

Cộng $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ và $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.13

Kết hợp $- 4$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.15

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.16

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.16.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.5.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Bước 2.3.7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}$

Bước 2.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 4$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{2}} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.14.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.17

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.18

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.19

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 2.3.20

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Bước 2.3.21

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Bước 2.3.22

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}$

Bước 2.3.23

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}$

Bước 2.3.24

Nhân $x^{\frac{1}{2}} - 2$ với $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.25.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.25.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.25.2.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.25.2.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.25.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.8

Để viết $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.9

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Bước 2.3.25.2.12

Cộng $x^{\frac{1}{2}}$ và $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Bước 2.3.25.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.4

Chuyển đổi các số mũ phân số sang căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.4.2

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.4.3

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 2.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 2.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 2.5.3

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 2.5.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 2.5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 2.5.6

Để viết $\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 2.5.7

Để viết $- \frac{2}{\sqrt{x}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.5.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $2 \sqrt{x}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.8.1

Nhân $\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.5.8.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{x}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{x} \cdot 2}}$

Bước 2.5.8.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\sqrt{x} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

Bước 2.5.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

Bước 3.1.2

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

Bước 3.1.2.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 3.1.2.3

Nhân $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ với $\frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

Bước 3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

Bước 3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) \cdot (2)}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 3.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2.1.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2.1.3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$2 \frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2.3.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2 \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2.3.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.2.3.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Bước 4.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Bước 4.1.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Bước 4.1.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 \frac{0}{(lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Bước 4.1.3.4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 \frac{0}{(3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Bước 4.1.3.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Bước 4.1.3.6

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Bước 4.1.3.7

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4}$

Bước 4.1.3.8

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.10.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.10.1.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2 \frac{0}{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.1.3

Nhân $3$ với $2$ .

$2 \frac{0}{(6 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$2 \frac{0}{(6 - 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.2

Trừ $4$ khỏi $6$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2 \frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Bước 4.1.3.10.1.6

Nhân $- 1$ với $4$ .

$2 \frac{0}{4 - 4}$

Bước 4.1.3.10.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Bước 4.1.3.10.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$2 (\frac{0}{0})$

Bước 4.1.3.11

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$2 (\frac{0}{0})$

Bước 4.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$2 (\frac{0}{0})$

Bước 4.2

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.5.2.2

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Bước 4.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7

Tính $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.8

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.15

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.16

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.17

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.19.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.19.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.21

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.22

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.23

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.24

Cộng $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.25

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.26

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.27

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.28

Viết lại biểu thức.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.29

Để viết $(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.30

Kết hợp $(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.31

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.32

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.33

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.7.34

Viết lại biểu thức.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Bước 4.3.8

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.9.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.2

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.5

Chia $3$ cho $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.6

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.8

Cộng $3$ và $3$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{6 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.9

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.10

Đưa $2$ ra ngoài $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.11

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3) + 2 (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2} + 0}$

Bước 4.3.9.2.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.9.2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)} + 0}$

Bước 4.3.9.2.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1} + 0}$

Bước 4.3.9.2.12.3

Viết lại biểu thức.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{1} + 0}$

Bước 4.3.9.2.12.4

Chia $3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ cho $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Bước 4.3.9.2.13

Cộng $3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 4.5

Chuyển đổi các số mũ phân số sang căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 4.5.2

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Bước 4.6

Nhân $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ với $\frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (3 - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

Bước 4.7

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

Bước 4.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Bước 5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Bước 5.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Bước 5.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Bước 5.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Bước 5.6

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Bước 5.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Bước 5.8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Bước 5.9

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Bước 5.10

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Bước 5.11

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 2}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.3.5

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{4}}}$

Bước 7.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2^{2}}}}$

Bước 7.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{2}}$

Bước 7.5

Kết hợp $\sqrt{4}$ và $\frac{4}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4} \cdot 4}{2}}$

Bước 7.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2^{2}} \cdot 4}{2}}$

Bước 7.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

Bước 7.7

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{\frac{8}{2}}$

Bước 7.8

Chia $8$ cho $2$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.25$