Giải tích Ví dụ

Tìm Cực Đại Địa Phương và Cực Tiểu Địa Phương y=x^3-4x^2-16x+3
Bước 1
Viết ở dạng một hàm số.
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
Nhân với .
Bước 2.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.3.3
Nhân với .
Bước 2.4
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.4.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.4.2
Cộng .
Bước 3
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 3.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.2.3
Nhân với .
Bước 3.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.3.3
Nhân với .
Bước 3.4
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.4.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 3.4.2
Cộng .
Bước 4
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 5
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.2.3
Nhân với .
Bước 5.1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.3.3
Nhân với .
Bước 5.1.4
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.4.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.4.2
Cộng .
Bước 5.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 6
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 6.2
Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1
Đối với đa thức có dạng , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là và có tổng là .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 6.2.1.2
Viết lại ở dạng cộng
Bước 6.2.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 6.2.2
Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.2.1
Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.
Bước 6.2.2.2
Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.
Bước 6.2.3
Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, .
Bước 6.3
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 6.4
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.1
Đặt bằng với .
Bước 6.4.2
Giải để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.1
Trừ khỏi cả hai vế của phương trình.
Bước 6.4.2.2
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.2.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 6.4.2.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.2.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.4.2.2.2.1.2
Chia cho .
Bước 6.4.2.2.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.4.2.2.3.1
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 6.5
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.1
Đặt bằng với .
Bước 6.5.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 6.6
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 7
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Bước 8
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 10
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1.1.1
Di chuyển dấu âm đầu tiên trong vào tử số.
Bước 10.1.1.2
Đưa ra ngoài .
Bước 10.1.1.3
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 10.1.1.4
Viết lại biểu thức.
Bước 10.1.2
Nhân với .
Bước 10.2
Trừ khỏi .
Bước 11
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 12
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 12.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1.1
Sử dụng quy tắc lũy thừa để phân phối các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 12.2.1.1.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 12.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 12.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 12.2.1.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 12.2.1.5
Sử dụng quy tắc lũy thừa để phân phối các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1.5.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 12.2.1.5.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 12.2.1.6
Nâng lên lũy thừa .
Bước 12.2.1.7
Nhân với .
Bước 12.2.1.8
Nâng lên lũy thừa .
Bước 12.2.1.9
Nâng lên lũy thừa .
Bước 12.2.1.10
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1.10.1
Kết hợp .
Bước 12.2.1.10.2
Nhân với .
Bước 12.2.1.11
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 12.2.1.12
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1.12.1
Nhân với .
Bước 12.2.1.12.2
Kết hợp .
Bước 12.2.1.12.3
Nhân với .
Bước 12.2.2
Tìm mẫu số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.2.1
Nhân với .
Bước 12.2.2.2
Nhân với .
Bước 12.2.2.3
Nhân với .
Bước 12.2.2.4
Nhân với .
Bước 12.2.2.5
Viết ở dạng một phân số với mẫu số .
Bước 12.2.2.6
Nhân với .
Bước 12.2.2.7
Nhân với .
Bước 12.2.2.8
Sắp xếp lại các thừa số của .
Bước 12.2.2.9
Nhân với .
Bước 12.2.2.10
Nhân với .
Bước 12.2.3
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 12.2.4
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.4.1
Nhân với .
Bước 12.2.4.2
Nhân với .
Bước 12.2.4.3
Nhân với .
Bước 12.2.5
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.5.1
Trừ khỏi .
Bước 12.2.5.2
Cộng .
Bước 12.2.5.3
Cộng .
Bước 12.2.6
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 14
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1
Nhân với .
Bước 14.2
Trừ khỏi .
Bước 15
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 16
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 16.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 16.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 16.2.1.3
Nhân với .
Bước 16.2.1.4
Nhân với .
Bước 16.2.2
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 16.2.2.2
Trừ khỏi .
Bước 16.2.2.3
Cộng .
Bước 16.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 17
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực đại địa phuơng
là một cực tiểu địa phương
Bước 18