Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Bước 2.3

Trừ $\cos (x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 - \sin (x) = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sin (x) = - 1$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.2.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Bước 6

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (1)$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 8

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 9

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 9.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 9.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 10

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 0$

Bước 12.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$

Bước 13

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Bước 13.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \infty, \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $1 - \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Bước 13.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Bước 13.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Bước 13.2.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (0) = 1$

Bước 13.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 13.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(\frac{π}{2}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $1 - \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Bước 13.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.2.1.1

Tính $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Bước 13.3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Bước 13.3.2.2

Cộng $1$ và $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Bước 13.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.75680249$ .

$1.75680249$

Bước 13.4

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = \frac{π}{2}$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 13.5

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = x + \cos (x)$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 14