Giải tích Ví dụ

Tìm Cực Đại Địa Phương và Cực Tiểu Địa Phương f(x) = cube root of x-1
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 1.3
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.4
Kết hợp .
Bước 1.5
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 1.6
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.6.1
Nhân với .
Bước 1.6.2
Trừ khỏi .
Bước 1.7
Kết hợp các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.7.1
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 1.7.2
Kết hợp .
Bước 1.7.3
Di chuyển sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 1.8
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.9
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.10
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.11
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.11.1
Cộng .
Bước 1.11.2
Nhân với .
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.2
Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 2.1.2.2
Nhân các số mũ trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.2.2.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 2.1.2.2.2
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.2.2.2.1
Kết hợp .
Bước 2.1.2.2.2.2
Nhân với .
Bước 2.1.2.2.3
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 2.3
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 2.4
Kết hợp .
Bước 2.5
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 2.6
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.6.1
Nhân với .
Bước 2.6.2
Trừ khỏi .
Bước 2.7
Kết hợp các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.7.1
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 2.7.2
Kết hợp .
Bước 2.7.3
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.7.3.1
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 2.7.3.2
Di chuyển sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 2.7.4
Nhân với .
Bước 2.7.5
Nhân với .
Bước 2.8
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.9
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.10
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.11
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.11.1
Cộng .
Bước 2.11.2
Nhân với .
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 4.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 4.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 4.1.3
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 4.1.4
Kết hợp .
Bước 4.1.5
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 4.1.6
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.6.1
Nhân với .
Bước 4.1.6.2
Trừ khỏi .
Bước 4.1.7
Kết hợp các phân số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.7.1
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 4.1.7.2
Kết hợp .
Bước 4.1.7.3
Di chuyển sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 4.1.8
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.9
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.10
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.11
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.11.1
Cộng .
Bước 4.1.11.2
Nhân với .
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Cho tử bằng không.
Bước 5.3
, nên không có đáp án.
Không có đáp án
Không có đáp án
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Áp dụng quy tắc để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.
Bước 6.2
Đặt mẫu số trong bằng để tìm nơi biểu thức không xác định.
Bước 6.3
Giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.1
Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.
Bước 6.3.2
Rút gọn mỗi vế của phương trình.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.2.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 6.3.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.2.2.1
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.2.2.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 6.3.2.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.3.2.2.1.3
Nhân các số mũ trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.2.2.1.3.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 6.3.2.2.1.3.2
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.2.2.1.3.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.3.2.2.1.3.2.2
Viết lại biểu thức.
Bước 6.3.2.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.2.3.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 6.3.3
Giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.3.1
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.3.1.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 6.3.3.1.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.3.1.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.3.1.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.3.3.1.2.1.2
Chia cho .
Bước 6.3.3.1.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.3.1.3.1
Chia cho .
Bước 6.3.3.2
Đặt bằng .
Bước 6.3.3.3
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1.1
Trừ khỏi .
Bước 9.1.2
Viết lại ở dạng .
Bước 9.1.3
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 9.2
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 9.2.2
Viết lại biểu thức.
Bước 9.3
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.3.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 9.3.2
Nhân với .
Bước 9.3.3
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 9.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Không xác định
Bước 10
Vì có ít nhất một điểm với hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1
Chia thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị và làm cho đạo hàm bậc nhất hoặc không xác định.
Bước 10.2
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 10.2.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.2.1
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.2.1.1
Trừ khỏi .
Bước 10.2.2.1.2
Viết lại ở dạng .
Bước 10.2.2.1.3
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 10.2.2.1.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.2.1.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 10.2.2.1.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 10.2.2.1.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.2.2.2
Nhân với .
Bước 10.2.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 10.3
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.3.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 10.3.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.3.2.1
Trừ khỏi .
Bước 10.3.2.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.3.2.2.1
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.3.2.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.3.2.2.1.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 10.3.2.2.2
Viết ở dạng một phân số với một mẫu số chung.
Bước 10.3.2.2.3
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 10.3.2.2.4
Cộng .
Bước 10.3.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 10.4
Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.
Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương
Bước 10.5
Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho .
Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương
Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương
Bước 11