Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 8.2

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 8.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 8.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 10.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Bước 11

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 12

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 12.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 12.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 12.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 12.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn.

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 14.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 14.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$