Giải tích Ví dụ

$f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 6 {(2 x + 1)}^{5} (2) d x$

Bước 3

Nhân $2$ với $6$ .

$\int 12 {(2 x + 1)}^{5} d x$

Bước 4

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int {(2 x + 1)}^{5} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x + 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $u^{5}$ và $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Bước 8.2.2.4

Chia $6$ cho $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ ở dạng $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Bước 10.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{6} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $u^{6}$ với $1$ .

$u^{6} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

${(2 x + 1)}^{6} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$ .

$F (x) =$ ${(2 x + 1)}^{6} + C$