Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{x}$

Bước 1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Bước 2

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Bước 3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\csc (x) - \frac{1}{x}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ - 0.1 & - 0.01668613 \\ - 0.01 & - 0.00166668 \\ - 0.001 & - 0.00016666 \\ - 0.0001 & - 0.00001666 \end{array}$

Bước 4

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\csc (x) - \frac{1}{x}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0$ .

$0$

Bước 5

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Bước 6

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\csc (x) - \frac{1}{x}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ 0.1 & 0.01668613 \\ 0.01 & 0.00166668 \\ 0.001 & 0.00016666 \\ 0.0001 & 0.00001666 \end{array}$

Bước 7

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\csc (x) - \frac{1}{x}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0$ .

$0$