Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Bước 2

Giới hạn của $\frac{\sin (x)}{x}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ là $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Bước 2.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Bước 2.4.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\cos (0)$

Bước 2.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$1$