Giải tích Ví dụ

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Bước 1.2

Giải $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Trừ $2 e^{3 x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Bước 1.2.1.2

Trừ $2 e^{3 x}$ khỏi $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Bước 1.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Bước 1.2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Khai triển $\ln (e^{3 x})$ bằng cách di chuyển $3 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Bước 1.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Bước 1.2.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Bước 1.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$3 x = 0$

Bước 1.2.5

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x = 0$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Bước 1.3.2

Rút gọn $2 e^{3 (0)} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Bước 1.3.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Bước 1.3.2.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$y = 2 + 1$

Bước 1.3.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y = 3$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 3)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 1$ và $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Bước 3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Bước 3.3

Trừ $3 e^{3 x}$ khỏi $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Bước 3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Bước 3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Bước 3.7

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.7.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 3.7.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 3.7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Bước 3.7.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Bước 3.7.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Bước 3.7.5

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 3.7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Bước 3.7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 3.8

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 3.9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Bước 3.10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Bước 3.11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Tính $x$ tại $0$ và tại $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Bước 3.11.2

Tính $e^{u}$ tại $0$ và tại $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Bước 3.11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1

Cộng $0$ và $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Bước 3.11.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Bước 3.12.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Bước 3.12.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Bước 3.12.1.4

Nhân $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Bước 3.12.1.4.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Bước 3.12.1.4.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 3.12.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 3.12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 3.12.4

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Bước 5.3

Trừ $2 e^{3 x}$ khỏi $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Bước 5.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Bước 5.5

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.5.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 5.5.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 5.5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 5.5.3

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Bước 5.5.5

Nhân $3$ với $2$ .

$u_{upper} = 6$

Bước 5.5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Bước 5.5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Bước 5.6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Bước 5.7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Bước 5.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Bước 5.9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Bước 5.10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Tính $e^{u}$ tại $6$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Bước 5.10.2

Tính $- x$ tại $2$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Bước 5.10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Bước 5.10.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Bước 5.10.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Bước 5.10.3.4

Cộng $- 2$ và $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Bước 5.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Bước 5.11.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Bước 5.11.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Bước 5.11.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Bước 5.11.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 5.11.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Bước 5.11.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Bước 5.11.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.5.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Bước 5.11.5.2

Trừ $6$ khỏi $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Bước 5.11.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Bước 6

Cộng các diện tích $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 6.2

Trừ $7$ khỏi $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 6.3

Để viết $\frac{e^{6} - 5}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 6.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{e^{6} - 5}{3}$ với $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Bước 6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Bước 6.5.2

Nhân $e^{6}$ với $e^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Bước 6.5.2.2

Cộng $6$ và $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Bước 7