Giải tích Ví dụ

$\log_{b} (216) = 3$

Bước 1

Viết lại $\log_{b} (216) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

Bước 2

Giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $216$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b^{3} - 216 = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $216$ ở dạng $6^{3}$ .

$b^{3} - 6^{3} = 0$

Bước 2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = b$ và $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

Bước 2.2.3.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Bước 2.4

Đặt $b - 6$ bằng $0$ và giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $b - 6$ bằng với $0$ .

$b - 6 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$b = 6$

Bước 2.5

Đặt $b^{2} + 6 b + 36$ bằng $0$ và giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $b^{2} + 6 b + 36$ bằng với $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ để tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 6$ , và $c = 36$ vào công thức bậc hai và giải tìm $b$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.3

Trừ $144$ khỏi $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.4

Viết lại $- 108$ ở dạng $- 1 (108)$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (108)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.7

Viết lại $108$ ở dạng $6^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.7.1

Đưa $36$ ra ngoài $108$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.7.2

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.9

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Bước 2.5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ đúng.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$