Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 9} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Bước 1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Bước 1.1.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{2 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Bước 1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

Bước 1.2

Phân tích $x^{2} - 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Bước 2.3

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}) - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Bước 2.4

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

Bước 2.5

Nhân $\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ với $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - (\frac{8}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3})$

Bước 2.6

Nhân $\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ với $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x - 3)}$

Bước 2.7

Sắp xếp lại các thừa số của $(x - 3) (x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3) (x - 3)}$

Bước 2.8

Nâng $x - 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} (x - 3))}$

Bước 2.9

Nâng $x - 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1})}$

Bước 2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{1 + 1}}$

Bước 2.11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$

Bước 3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x (x + 1) - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.4

Viết lại ${(x - 3)}^{2}$ ở dạng $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - ((x - 3) (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.5

Khai triển $(x - 3) (x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.6.1.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.6.1.3

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.6.2

Trừ $3 x$ khỏi $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 6 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.8.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x - 8 \cdot - 3}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 4.10

Nhân $- 8$ với $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 5.2

Cộng $2 x$ và $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 5.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $8 x$ khỏi $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 5.3.2

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

Bước 5.4

Cộng $- 9$ và $24$ .

$\frac{x^{2} + 15}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$