Giải tích Ví dụ

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ và $g (t) = 2 t + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t + 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t + 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Bước 8

Nhân $\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 9

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 10

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 13

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 15

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + \frac{d}{d t} [1])$

Bước 16

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + 0)$

Bước 17

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Bước 17.2

Kết hợp $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $2$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Bước 17.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 17.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 17.5

Chia ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$