Giải tích Ví dụ

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 3$ và $g (x) = x^{3}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x$ .

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Bước 7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Bước 7.2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Bước 8

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 8.3

Viết lại biểu thức.

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Bước 9

Kết hợp $9$ và $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Bước 10.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Bước 10.3.1.2

Nhân $- 3$ với $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Bước 10.3.1.3

Nhân $9 (- 3 \cdot - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.3.1

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Bước 10.3.1.3.2

Nhân $9$ với $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Bước 10.3.2

Trừ $27 x^{2}$ khỏi $18 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Bước 10.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 x^{2} + 81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 x^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

Bước 10.4.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $81$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

Bước 10.4.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

Bước 10.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

Bước 10.4.3

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $3^{2}$ .

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

Bước 10.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3$ và $b = x$ .

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$