Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 1

Viết lại $\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Bước 2

Viết $\sin (2 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}]$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Bước 3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \sec (x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (2 x)$ và $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 5

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 7.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.4.2

Chia $2 \sin (x)$ cho $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.5

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.6

Nhân $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.6.2

Kết hợp $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.6.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.6.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.6.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Bước 8.2.7

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 8.2.8

Nhân $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.8.1

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

Bước 8.2.8.2

Kết hợp $\frac{2}{\cos (x)}$ và $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 8.3.2

Tách các phân số.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 8.3.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 8.3.4

Chia $2 (\sin (x))$ cho $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 8.3.5

Tách các phân số.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 8.3.6

Viết lại $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 8.3.7

Viết $\cos (2 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 8.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.8.1

Chia $\cos (2 x)$ cho $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 8.3.8.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

Bước 8.3.9

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$