Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{e^{(7 x^{2} - 3)}}{\ln (3 x + 5)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{7 x^{2} - 3}$ và $g (x) = \ln (3 x + 5)$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} - 3}] - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x^{2} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 x^{2} - 3$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x^{2} - 3$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 3.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 3.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + 0)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 3.6

Cộng $14 x$ và $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x + 5$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x + 5$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3 x + 5}$ và $e^{7 x^{2} - 3}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.6

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + 0)}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot 3}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.7.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - 3 \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.7.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) + \frac{- 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 5.7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 6

Để viết $\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5)}{3 x + 5} - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 8

Viết lại $\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ ở dạng một tích.

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 9

Nhân $\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ với $\frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{14 \ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.2

Rút gọn $14 \ln (3 x + 5)$ bằng cách di chuyển $14$ trong logarit.

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x) + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.5

Nhân $\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.5.1

Sắp xếp lại $\ln ({(3 x + 5)}^{14})$ và $5$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot (5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.5.2

Rút gọn $5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.6.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.6.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} (x \cdot x) + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.6.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.6.2

Rút gọn $3 \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{\ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.6.3

Nhân các số mũ trong ${({(3 x + 5)}^{14})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.6.3.2

Nhân $14$ với $3$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.6.4

Nhân các số mũ trong ${({(3 x + 5)}^{14})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.6.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.1.6.4.2

Nhân $14$ với $5$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}$ .

$\frac{x^{2} e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + x e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Bước 10.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{7 x^{2} - 3} x^{2} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{\ln^{2} (3 x + 5) (3 x + 5)}$