Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{x^{2} - 9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - 9$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 9 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - 9 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Nhân $- 9$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Bước 3.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.5

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x^{2} + 9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.7

Viết lại $- (x^{2} + 9)$ ở dạng $- 1 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x^{2} + 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$