Giải tích Ví dụ

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Bước 2

Đạo hàm của $x$ đối với $t$ là $x'$ .

$x'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${(2 t + 1)}^{2}$ ở dạng $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Bước 3.2

Khai triển $(2 t + 1) (2 t + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Bước 3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Bước 3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Bước 3.3.1.2

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Bước 3.3.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Bước 3.3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Bước 3.3.1.5

Nhân $2 t$ với $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Bước 3.3.1.6

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Bước 3.3.2

Cộng $2 t$ và $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 t^{2} + 4 t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t^{2}$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.4

Nhân $2$ với $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.5

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.7

Nhân $4$ với $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.8

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.9

Cộng $8 t + 4$ và $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Bước 3.5.11

Nhân $4 t^{2} + 4 t + 1$ với $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Bước 3.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Bước 3.6.2.2

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Bước 3.6.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Bước 3.6.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Bước 3.6.2.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Bước 3.6.2.6

Cộng $8 t^{2}$ và $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Bước 3.6.2.7

Cộng $4 t$ và $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Bước 5

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$