Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ ở dạng ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{1}{1 + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\frac{- x + 2 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 8

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{1}{\frac{0 + 2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{1}{\frac{2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 10

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{2}{1 - x}$ .

$1 \frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 11

Nhân $\frac{1 - x}{2}$ với $1$ .

$\frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 12.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 12.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 13

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 14

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 16.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 17

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 17.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1 - x}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2 \cdot 2} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 17.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + x$ và $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.5

Nhân $1 - x$ với $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.10.2

Nhân $1 + x$ với $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.12.1

Nhân $1 + x$ với $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.12.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.12.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.12.4

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}})$

Bước 19.12.5

Nhân $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ với $\frac{1 - x}{4}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{{(1 - x)}^{2} \cdot 4} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 19.12.6

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{4 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 20

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 {(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 20.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 20.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - x}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 21

Triệt tiêu thừa số chung của $1 - x$ và ${(1 - x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Nhân với $1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 21.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Đưa $1 - x$ ra ngoài $2 {(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 21.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 21.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 22.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1 - x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.4.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2 - 2 x} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.3

Nhân $\frac{1}{2 - 2 x}$ với $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{(2 - 2 x) {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - 2 x)}$

Bước 22.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) - 2 x)}$

Bước 22.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) + 2 (- x))}$

Bước 22.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1 - x))}$

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1 - x)}$

Bước 22.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

Bước 22.8

Đưa $- x + 1$ ra ngoài ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

Bước 22.9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.9.1

Đưa $- x + 1$ ra ngoài ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)$ .

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

Bước 22.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

Bước 22.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 22.10

Di chuyển ${(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$