Giải tích Ví dụ

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.10

Kết hợp $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ và $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{\sin (5 x)}$ ở dạng ${\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = \sin (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $5 x$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\cos (u_{3})$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $5 x$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 3.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.9.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{- 2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.11

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) \cdot 5)$

Bước 3.12

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (5 \cdot \cos (5 x))$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (5 \cos (5 x))$

Bước 3.14

Kết hợp $5$ và $\frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (5 x)$

Bước 3.15

Kết hợp $\frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (5 x)}{3}$

Bước 3.16

Di chuyển ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 \cos (5 x)}{3 {\sin (5 x)}^{\frac{2}{3}}}$