Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Bước 4

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Bước 5

Nhân $\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp.

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Bước 6.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Bước 8.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

Bước 8.4

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Bước 9.1.2

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Bước 9.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Bước 9.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Bước 9.3.2

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

Bước 9.3.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

Bước 9.4

Khai triển $\ln (x^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 x}$ và $e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Bước 9.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.2.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $e^{4 x} x$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

Bước 9.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Bước 9.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

Bước 9.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

Bước 9.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

Bước 9.8

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Bước 9.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Bước 9.10

Viết lại $- (2 x \ln (x) - 1)$ ở dạng $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Bước 9.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$