Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{7 x} + e^{- 7 x}}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{7 x} + e^{- 7 x}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{7 x} + e^{- 7 x}] - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{7 x} + e^{- 7 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x$ .

$\frac{x (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{x (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.3.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $e^{7 x}$ .

$\frac{x (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 7 x$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 7 x$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 7$ với $1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \cdot - 7) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.3.2

Di chuyển $- 7$ sang phía bên trái của $e^{- 7 x}$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 \cdot e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 6.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{7 x e^{7 x} + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Bước 7.3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Bước 7.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$