Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 1$ và $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Bước 6

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 6.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 6.2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Bước 6.2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Bước 7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

Bước 8.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

Bước 8.2.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

Bước 8.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

Bước 8.4

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

Bước 8.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Bước 8.6

Viết lại $- (x^{2} - 3)$ ở dạng $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Bước 8.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$