Giải tích Ví dụ

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 - x^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{- 1}$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{- 1}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{- 1}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 2.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.5.2

Nhân ${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ với $1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sắp xếp lại các thừa số của ${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ .

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Bước 3.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Bước 3.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

Bước 3.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

Bước 3.5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

Bước 3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

Bước 3.7

Nhân $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ với $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$