Giải tích Ví dụ

$y = (3 x^{2} - 4 x + 1) (5 - 6 x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ và $g (x) = 5 - 6 x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} [5 - 6 x^{2}] + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 6 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2.4

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 6 (2 x)) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 6$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $3$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.11

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.13

Nhân $- 4$ với $1$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.14

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 + 0)$

Bước 2.15

Cộng $6 x - 4$ và $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4)$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x) + (5 - 6 x^{2}) \cdot - 4$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + (5 - 6 x^{2}) \cdot - 4$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 12$ với $3$ .

$- 36 x^{2} x - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 36 (x^{1} x^{2}) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 36 x^{1 + 2} - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.4

Cộng $1$ và $2$ .

$- 36 x^{3} - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.5

Nhân $- 12$ với $- 4$ .

$- 36 x^{3} + 48 x \cdot x + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 (x^{1} x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 36 x^{3} + 48 x^{1 + 1} + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.9

Cộng $1$ và $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.10

Nhân $- 12$ với $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.11

Nhân $6$ với $5$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.12

Nhân $6$ với $- 6$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{2} x + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 (x^{1} x^{2}) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{1 + 2} + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.15

Cộng $1$ và $2$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.16

Nhân $5$ với $- 4$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} - 20 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.17

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} - 20 + 24 x^{2}$

Bước 3.5.18

Cộng $- 12 x$ và $30 x$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} + 18 x - 36 x^{3} - 20 + 24 x^{2}$

Bước 3.5.19

Trừ $36 x^{3}$ khỏi $- 36 x^{3}$ .

$- 72 x^{3} + 48 x^{2} + 18 x - 20 + 24 x^{2}$

Bước 3.5.20

Cộng $48 x^{2}$ và $24 x^{2}$ .

$- 72 x^{3} + 72 x^{2} + 18 x - 20$