Giải tích Ví dụ

$\arctan (\frac{x}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$ với $1$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{3 (1 + \frac{x^{2}}{3^{2}})}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3 \cdot 1 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Bước 3.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{9}}$

Bước 3.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{2}}{9}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{9}}$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{3 (x^{2})}{9}}$

Bước 3.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Bước 3.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Bước 3.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3 + \frac{x^{2}}{3}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$

Bước 3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 3 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.5.4

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 9}{3}}$

Bước 3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \frac{3}{x^{2} + 9}$

Bước 3.7

Nhân $\frac{3}{x^{2} + 9}$ với $1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 9}$