Giải tích Ví dụ

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Bước 1

Viết

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ ở dạng một phương trình.

y = e^{2 x - 1}

$y = e^{2 x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

x = e^{2 y - 1}

$x = e^{2 y - 1}$

Bước 3

Giải tìm

y

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$ .

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

ln (e^{2 y - 1}) = ln (x)

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển

ln (e^{2 y - 1})

$\ln (e^{2 y - 1})$ bằng cách di chuyển

2 y - 1

$2 y - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

(2 y - 1) ln (e) = ln (x)

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Bước 3.3.2

Logarit tự nhiên của

e

$e$ là

1

$1$ .

(2 y - 1) \cdot 1 = ln (x)

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 3.3.3

Nhân

2 y - 1

$2 y - 1$ với

1

$1$ .

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

Bước 3.4

Cộng

1

$1$ cho cả hai vế của phương trình.

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ cho

2

$2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ cho

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia

$y$ cho

$1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 4

Thay thế

$y$ bằng

$f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ có là hàm ngược của

$f (x) = e^{2 x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem

$f^{- 1} (f (x)) = x$ và

$f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính

$f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính

$f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ bằng cách thay giá trị của

$f$ vào

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển

$2 x - 1$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Bước 5.2.4.2

Logarit tự nhiên của

$e$ là

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Bước 5.2.4.3

Nhân

$2 x - 1$ với

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Bước 5.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

$2 x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Cộng

$- 1$ và

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 5.2.5.1.2

Cộng

$2 x$ và

$0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.5.2.2

Chia

$x$ cho

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính

$f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ bằng cách thay giá trị của

$f^{- 1}$ vào

$f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Viết lại

$\frac{\ln (x)}{2}$ ở dạng

$\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.1.2

Rút gọn

$\frac{1}{2} \ln (x)$ bằng cách di chuyển

$\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn

$2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển

$2$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Nhân các số mũ trong

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5.2

Rút gọn.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

$\ln (x) + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ

$1$ khỏi

$1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Bước 5.3.4.2

Cộng

$\ln (x)$ và

$0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Bước 5.3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì

$f^{- 1} (f (x)) = x$ và

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ là hàm ngược của

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$