Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = e^{2 x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{2 x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{2 y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{2 y - 1} = x$ .

$e^{2 y - 1} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $\ln (e^{2 y - 1})$ bằng cách di chuyển $2 y - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Bước 3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 3.3.3

Nhân $2 y - 1$ với $1$ .

$2 y - 1 = \ln (x)$

Bước 3.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y = \ln (x) + 1$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (x) + 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (x) + 1$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{2 x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2 x - 1$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Bước 5.2.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Bước 5.2.4.3

Nhân $2 x - 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Bước 5.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 5.2.5.1.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.5.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Viết lại $\frac{\ln (x)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (x)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Bước 5.3.3.5.2

Rút gọn.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (x) + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Bước 5.3.4.2

Cộng $\ln (x)$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Bước 5.3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$