Giải tích Ví dụ

$x^{3} < 4 x$

Bước 1

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{3} - 4 x < 0$

Bước 2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{3} - 4 x = 0$

Bước 3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Bước 3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Bước 3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Bước 3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Bước 3.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 5

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 7

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 7.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x + 2) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, - 2, 2$

Bước 9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Bước 10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 4)}^{3} < 4 (- 4)$

Bước 10.1.3

Vế trái $- 64$ nhỏ hơn vế phải $- 16$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 1$

Bước 10.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 1)}^{3} < 4 (- 1)$

Bước 10.2.3

Vế trái $- 1$ không nhỏ hơn vế phải $- 4$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 10.3.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(1)}^{3} < 4 (1)$

Bước 10.3.3

Vế trái $1$ nhỏ hơn vế phải $4$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 10.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(4)}^{3} < 4 (4)$

Bước 10.4.3

Vế trái $64$ không nhỏ hơn vế phải $16$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 0$ Sai

$0 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 0$ Sai

$0 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

Bước 11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 2$ hoặc $0 < x < 2$

Bước 12

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$

Bước 13