Giải tích Ví dụ

${(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}} = x^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 11 x + 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $11 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $11 x + 3 y$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.6.3

Di chuyển ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $11 x + 3 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 2.8

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 x$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 2.10

Nhân $11$ với $1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 2.11

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.12

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$ .

$(11 + 3 y') \frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.13.2

Nhân $11 + 3 y'$ với $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} = 2 x$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}) = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$11 + 3 y' = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.2.1.1.4

Sắp xếp lại $11$ và $3 y'$ .

$3 y' + 11 = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 y' + 11 = 2 \cdot 3 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $2$ với $3$ .

$3 y' + 11 = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $11$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$

Bước 5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ cho $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.3.1.2.4

Chia $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ cho $1$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 11}{3}$

Bước 5.3.2.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - \frac{11}{3}$

Bước 5.3.2.3.2

Để viết $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

Bước 5.3.2.3.3

Kết hợp $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{11}{3}$

Bước 5.3.2.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 11}{3}$

Bước 5.3.2.3.5

Nhân $3$ với $2$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$