Giải tích Ví dụ

$\cos (2 y) = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y$ .

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 \sin (2 y) y'$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ cho $- 2 \sin (2 y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ cho $- 2 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Bước 5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tách các phân số.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Bước 5.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (2 y)}$ sang $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Bước 5.3.4

Kết hợp $\csc (2 y)$ và $\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$