Giải tích Ví dụ

$2 x^{3} = 2 y^{2} + 5$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y^{2} + 5)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$4 y y' + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $4 y y'$ và $0$ .

$4 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 x^{2} = 4 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 y y' = 6 x^{2}$ .

$4 y y' = 6 x^{2}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $4 y y' = 6 x^{2}$ cho $4 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y y' = 6 x^{2}$ cho $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{4 y}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 y$ .

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 y)}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 y)}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$