Giải tích Ví dụ

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Bước 2.3

Nhân $15$ với $1$ .

$15$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 y$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.3.4

Nhân $3$ với $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{5}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

Bước 3.4.4

Nhân $5$ với $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ .

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Bước 5.2

Đưa $15 y'$ ra ngoài $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $15 y'$ ra ngoài $15 y^{2} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Bước 5.2.2

Đưa $15 y'$ ra ngoài $15 y^{4} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

Bước 5.2.3

Đưa $15 y'$ ra ngoài $15 y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

Bước 5.2.4

Đưa $15 y'$ ra ngoài $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

Bước 5.2.5

Đưa $15 y'$ ra ngoài $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

Bước 5.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại $y^{4} + y^{2} + 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Viết lại số hạng ở giữa.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

Bước 5.4.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

Bước 5.4.1.3

Phân tích ba số hạng đầu tiên thành thừa số theo quy tắc số chính phương.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

Bước 5.4.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y^{2} + 1$ và $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Bước 5.4.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Bước 5.4.1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

Bước 5.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ cho $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ cho $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} - y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 5.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$