Giải tích Ví dụ

$x^{4} = \cot (y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{4}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\cot (u)$ đối với $u$ là $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$4 x^{3} = - \csc^{2} (y) y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \csc^{2} (y) y' = 4 x^{3}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 4 x^{3}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- \csc^{2} (y) y' = 4 x^{3}$ cho $- \csc^{2} (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \csc^{2} (y) y' = 4 x^{3}$ cho $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{4 x^{3}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{4 x^{3}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\csc^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{4 x^{3}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{\csc^{2} (y)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{\csc^{2} (y)}$