Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.6

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.9

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.1.2

Viết lại $- 1 \cos (x)$ ở dạng $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.1.3

Nhân $- - \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.1.3.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.1.4

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1.4.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.1.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.2

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3.10.3.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$