Giải tích Ví dụ

$\cos (x) + \sqrt{y} = 5$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 5$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Bước 3.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Bước 3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Bước 3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Bước 3.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Bước 3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Bước 3.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Bước 3.3.9

Kết hợp $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Bước 3.3.10

Di chuyển $y^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x)$

Bước 4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x) = 0$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $\sin (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \sin (x)$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn $\sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' = 2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$