Giải tích Ví dụ

$y = \sin (x) \cos (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.7

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Bước 3.8

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Bước 3.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Bước 3.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Bước 3.11

Cộng $1$ và $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Sắp xếp lại $- \sin^{2} (x)$ và $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 3.12.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (x)$ và $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 3.12.3

Khai triển $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 3.12.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 3.12.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (x) (- \sin (x))$ và $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.4.2

Cộng $- \cos (x) \sin (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.4.3

Cộng $\cos (x) \cos (x)$ và $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.5.1

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.5.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.5.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.5.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.5.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 3.12.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Bước 3.12.5.3

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.5.3.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Bước 3.12.5.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Bước 3.12.5.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Bước 3.12.5.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 3.12.6

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \cos (2 x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (2 x)$