Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})$

Bước 3.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Bước 3.3.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $y'$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y'$

Bước 5.2

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = 0$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $2 y^{3} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = - 2 y^{3} x$

Bước 5.3.2

Trừ $3 x^{2} y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 x^{3} y y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 5.4.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y)$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 5.4.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ cho $3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ cho $3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.2

Đưa $y^{2} x$ ra ngoài $- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Đưa $y^{2} x$ ra ngoài $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.2.2

Đưa $y^{2} x$ ra ngoài $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.2.3

Đưa $y^{2} x$ ra ngoài $y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - (3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 y) - (3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.6.1

Viết lại $- (2 y + 3 x)$ ở dạng $- 1 (2 y + 3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 1 (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 5.5.3.6.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$ .

$y' = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$