Giải tích Ví dụ

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

Bước 1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

Bước 2

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Bước 2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Bước 2.2.2

Trừ $2 \sin^{2} (x)$ khỏi $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Bước 3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Bước 3.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Bước 3.4

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Bước 5

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 5.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 5.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $- 2 \sin (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $- 2 \sin (x) + 1$ bằng với $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Bước 6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = - 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = - 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 6.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Bước 6.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 6.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 6.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{6}$

Bước 6.2.6

Rút gọn $π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 6.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 6.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 6.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 6.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 6.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất $2 π n$ và $π + 2 π n$ để $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Tìm các giá trị của $n$ tạo ra một giá trị trong khoảng $[0, 2 π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$π (0)$

Bước 9.1.2

Nhân $π$ với $0$ .

$0$

Bước 9.1.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $0$ .

$x = 0$

Bước 9.2

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Bước 9.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Bước 9.2.2.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Bước 9.2.2.2

Cộng $\frac{π}{6}$ và $0$ .

$\frac{π}{6}$

Bước 9.2.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}$

Bước 9.3

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Bước 9.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Bước 9.3.2.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Bước 9.3.2.2

Cộng $\frac{5 π}{6}$ và $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Bước 9.3.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{5 π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Bước 9.4

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$π (1)$

Bước 9.4.2

Nhân $π$ với $1$ .

$π$

Bước 9.4.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $π$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$