Giải tích Ví dụ

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của elip.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $4 x^{2} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{4}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $64$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Bước 1.3

Thay $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ cho $4 x^{2} - 8 x$ trong phương trình $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = - 4$

Bước 1.4

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = - 4 + 4$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{2}{1}$

Bước 1.5.3.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$d = 2$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4^{2}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.4.2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Bước 1.5.4.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.4.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Bước 1.5.4.2.1.1.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 1.5.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Bước 1.6

Thay ${(y + 2)}^{2} - 4$ cho $y^{2} + 4 y$ trong phương trình $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

Bước 1.7

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

Bước 1.8

Rút gọn $- 4 + 4 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0 + 4$

Bước 1.8.2

Cộng $0$ và $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $4$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hình elip. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm tâm cùng với trục lớn và trục nhỏ của hình elip.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong elip này với dạng chính tắc. Biến $a$ là bán kính của trục chính của elip, $b$ là bán kính của trục phụ của elip, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$a = 2$

$b = 1$

$k = - 2$

$h = 1$

Bước 4

Tâm của một elip có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(1, - 2)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của hình elip bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Bước 5.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt{4 - 1}$

Bước 5.3.4

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\sqrt{3}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một elip bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(1, - 2 + 2)$

Bước 6.3

Rút gọn.

$(1, 0)$

Bước 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.5

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(1, - 2 - (2))$

Bước 6.6

Rút gọn.

$(1, - 4)$

Bước 6.7

Elip có hai đỉnh.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tiêu điểm đầu tiên của một hình elip có thể tìm được bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(1, - 2 + \sqrt{3})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hình elip bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(1, - 2 - (\sqrt{3}))$

Bước 7.5

Rút gọn.

$(1, - 2 - \sqrt{3})$

Bước 7.6

Elip có hai tiêu điểm.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1^{2}}}{2}$

Bước 8.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 1}}{2}$

Bước 8.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1}}{2}$

Bước 8.3.4

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 9

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hình elip.

Tâm: $(1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 10