Giải tích Ví dụ

Tìm Các Điểm Uốn f(x)=x/(4x^2-1)
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.1.2
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.1.2.2
Nhân với .
Bước 1.1.2.3
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.2.4
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.2.5
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.1.2.6
Nhân với .
Bước 1.1.2.7
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.2.8
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.8.1
Cộng .
Bước 1.1.2.8.2
Nhân với .
Bước 1.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.1.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.1.5
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.1.6
Cộng .
Bước 1.1.7
Trừ khỏi .
Bước 1.2
Tìm đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.2
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.2.1
Nhân các số mũ trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.2.1.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 1.2.2.1.2
Nhân với .
Bước 1.2.2.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2.3
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.2.5
Nhân với .
Bước 1.2.2.6
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2.7
Cộng .
Bước 1.2.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 1.2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 1.2.4
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.1
Nhân với .
Bước 1.2.4.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.4.3
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.4.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.4.5
Nhân với .
Bước 1.2.4.6
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.4.7
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.4.7.1
Cộng .
Bước 1.2.4.7.2
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 1.2.4.7.3
Nhân với .
Bước 1.2.5
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.1
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
Bước 1.2.5.3.1.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.5.3.1.3
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.3.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.3.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.3.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.4
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.4.1.1
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
Bước 1.2.5.3.1.4.1.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.4.1.2.1
Di chuyển .
Bước 1.2.5.3.1.4.1.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.5.3.1.4.1.2.3
Cộng .
Bước 1.2.5.3.1.4.1.3
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.4.1.4
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.4.1.5
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.4.1.6
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.4.2
Trừ khỏi .
Bước 1.2.5.3.1.5
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.6
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.6.1
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.6.2
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.6.3
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.7
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.8
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.8.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.8.1.1
Di chuyển .
Bước 1.2.5.3.1.8.1.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.8.1.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.2.5.3.1.8.1.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.5.3.1.8.1.3
Cộng .
Bước 1.2.5.3.1.8.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.8.2.1
Di chuyển .
Bước 1.2.5.3.1.8.2.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.8.2.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.2.5.3.1.8.2.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.5.3.1.8.2.3
Cộng .
Bước 1.2.5.3.1.9
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.9.1
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.9.2
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.10
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.10.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.10.1.1
Di chuyển .
Bước 1.2.5.3.1.10.1.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.10.1.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.2.5.3.1.10.1.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.5.3.1.10.1.3
Cộng .
Bước 1.2.5.3.1.10.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.5.3.1.11
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.11.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.11.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.11.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.3.1.12
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.12.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.12.1.1
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
Bước 1.2.5.3.1.12.1.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.12.1.2.1
Di chuyển .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.5.3.1.12.1.2.3
Cộng .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.3
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.4
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
Bước 1.2.5.3.1.12.1.5
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.12.1.5.1
Di chuyển .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.5.2
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 1.2.5.3.1.12.1.5.3
Cộng .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.6
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.7
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.12.1.8
Nhân với .
Bước 1.2.5.3.1.12.2
Cộng .
Bước 1.2.5.3.1.12.3
Cộng .
Bước 1.2.5.3.2
Cộng .
Bước 1.2.5.3.3
Trừ khỏi .
Bước 1.2.5.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.4.1
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.4.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.4.1.2
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.4.1.3
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.4.1.4
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.4.1.5
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.5.4.3
Giả sử . Thay cho tất cả các lần xuất hiện của .
Bước 1.2.5.4.4
Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.4.4.1
Đối với đa thức có dạng , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là và có tổng là .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.4.4.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.4.4.1.2
Viết lại ở dạng cộng
Bước 1.2.5.4.4.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.2.5.4.4.2
Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.4.4.2.1
Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.
Bước 1.2.5.4.4.2.2
Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.
Bước 1.2.5.4.4.3
Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, .
Bước 1.2.5.4.5
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 1.2.5.4.6
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.5.4.7
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.5.4.8
Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, trong đó .
Bước 1.2.5.5
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.5.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.5.5.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2.5.5.3
Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, trong đó .
Bước 1.2.5.5.4
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 1.2.5.6
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.6.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.6.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.6.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.6.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.2.5.6.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 1.2.5.7
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.7.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.7.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.7.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.2.5.7.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.2.5.7.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 1.3
Đạo hàm bậc hai của đối với .
Bước 2
Đặt đạo hàm bậc hai bằng sau đó giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Đặt đạo hàm bậc hai bằng .
Bước 2.2
Cho tử bằng không.
Bước 2.3
Giải phương trình để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 2.3.2
Đặt bằng với .
Bước 2.3.3
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.1
Đặt bằng với .
Bước 2.3.3.2
Giải để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.1
Trừ khỏi cả hai vế của phương trình.
Bước 2.3.3.2.2
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.2.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 2.3.3.2.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.2.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 2.3.3.2.2.2.1.2
Chia cho .
Bước 2.3.3.2.2.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.2.3.1
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 2.3.3.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Bước 2.3.3.2.4
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.4.1
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.4.1.1
Viết lại ở dạng .
Bước 2.3.3.2.4.1.2
Đưa lũy thừa hoàn hảo ra ngoài .
Bước 2.3.3.2.4.1.3
Đưa lũy thừa hoàn hảo ra ngoài .
Bước 2.3.3.2.4.1.4
Sắp xếp lại phân số .
Bước 2.3.3.2.4.1.5
Viết lại ở dạng .
Bước 2.3.3.2.4.2
Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.
Bước 2.3.3.2.4.3
Kết hợp .
Bước 2.3.3.2.5
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.2.5.1
Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của để tìm đáp án đầu tiên.
Bước 2.3.3.2.5.2
Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của để tìm đáp án thứ hai.
Bước 2.3.3.2.5.3
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Bước 2.3.4
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 3
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Thay trong để tìm giá trị của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 3.1.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 3.1.2.1.2
Nhân với .
Bước 3.1.2.1.3
Trừ khỏi .
Bước 3.1.2.2
Chia cho .
Bước 3.1.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 3.2
Tìm điểm bằng cách thay thế trong . Điểm này có thể là một điểm uốn.
Bước 4
Tách thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.
Bước 5
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 5.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1.1
Nhân với .
Bước 5.2.1.2
Nhân với .
Bước 5.2.2
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.2.1
Nhân với .
Bước 5.2.2.2
Cộng .
Bước 5.2.2.3
Nhân với .
Bước 5.2.2.4
Trừ khỏi .
Bước 5.2.2.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 5.2.2.6
Nâng lên lũy thừa .
Bước 5.2.3
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.3.1
Nhân với .
Bước 5.2.3.2
Chia cho .
Bước 5.2.4
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 5.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng .
Tăng trên
Tăng trên
Bước 6
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 6.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1.1
Nhân với .
Bước 6.2.1.2
Nhân với .
Bước 6.2.2
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.2.1
Nhân với .
Bước 6.2.2.2
Cộng .
Bước 6.2.2.3
Nhân với .
Bước 6.2.2.4
Trừ khỏi .
Bước 6.2.2.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.2.2.6
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.2.3
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.3.1
Nhân với .
Bước 6.2.3.2
Chia cho .
Bước 6.2.4
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 6.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng
Giảm trên
Giảm trên
Bước 7
Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là .
Bước 8