Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + 7}$ ở dạng ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 7$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 1.1.3.3

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Bước 1.1.4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.3.3

Nhân ${(x^{2} + 7)}^{2}$ với $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.5.2

Đưa $x^{2} + 7$ ra ngoài ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Đưa $x^{2} + 7$ ra ngoài ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.5.2.2

Đưa $x^{2} + 7$ ra ngoài $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.5.2.3

Đưa $x^{2} + 7$ ra ngoài $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Bước 1.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đưa $x^{2} + 7$ ra ngoài ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.9

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.14

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.15

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.16

Kết hợp $- 2$ và $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.18.2.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.2.2

Nhân $2$ với $7$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{2} + 14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.18.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.5

Viết lại $7$ ở dạng $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.7

Viết lại $- (3 x^{2} - 7)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.2.18.10

Nhân $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.2.1.2

Chia $3 x^{2} - 7$ cho $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Bước 2.3.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} = 7$

Bước 2.3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{2} = 7$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{2} = 7$ cho $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Bước 2.3.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Bước 2.3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Bước 2.3.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Viết lại $\sqrt{\frac{7}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Bước 2.3.5.2

Nhân $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 2.3.5.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 2.3.5.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 2.3.5.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 2.3.5.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 2.3.5.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 2.3.5.3.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.3.5.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.3.5.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.5.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.5.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 2.3.5.3.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.4.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Bước 2.3.5.4.2

Nhân $7$ với $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Bước 2.3.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Bước 2.3.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Bước 2.3.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $\frac{\sqrt{21}}{3}$ trong $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{\sqrt{21}}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.1.2.1.2

Viết lại ${\sqrt{21}}^{2}$ ở dạng $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{21}$ ở dạng $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.1.2.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.1.2.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.1.2.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.1.2.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.1.2.1.2.5

Tính số mũ.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.1.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Bước 3.1.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Bước 3.1.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Bước 3.1.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Bước 3.1.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Bước 3.1.2.1.5

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 3.1.2.1.6

Kết hợp $7$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.1.2.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.1.2.1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.8.1

Nhân $7$ với $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Bước 3.1.2.1.8.2

Cộng $7$ và $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Bước 3.1.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Bước 3.1.2.3

Nhân $\frac{3}{28}$ với $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Bước 3.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{\sqrt{21}}{3}$ trong $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ là $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Bước 3.3

Thay $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ trong $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Bước 3.3.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Bước 3.3.2.1.3

Nhân $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ với $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.3.2.1.4

Viết lại ${\sqrt{21}}^{2}$ ở dạng $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{21}$ ở dạng $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.3.2.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.3.2.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.3.2.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.3.2.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.3.2.1.4.5

Tính số mũ.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Bước 3.3.2.1.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Bước 3.3.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Bước 3.3.2.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Bước 3.3.2.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Bước 3.3.2.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Bước 3.3.2.1.7

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 3.3.2.1.8

Kết hợp $7$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.3.2.1.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.3.2.1.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.10.1

Nhân $7$ với $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Bước 3.3.2.1.10.2

Cộng $7$ và $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Bước 3.3.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Bước 3.3.2.3

Nhân $\frac{3}{28}$ với $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Bước 3.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Bước 3.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ trong $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ là $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Bước 3.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.62752523$ trong biểu thức.

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 1.62752523$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $3$ với $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 5.2.1.3

Trừ $7$ khỏi $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $- 1.62752523$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $2.64883837$ và $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Bước 5.2.2.3

Nâng $9.64883837$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Bước 5.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $2$ với $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Bước 5.2.3.2

Chia $1.89303027$ cho $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.00210732$ .

$0.00210732$

Bước 5.3

Tại $- 1.62752523$ , đạo hàm bậc hai là $0.00210732$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Tăng trên $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 6.2.1.3

Trừ $7$ khỏi $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $0$ và $7$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $2$ với $- 7$ .

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 14$ và $343$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $- 14$ .

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $343$ .

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Bước 6.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Bước 6.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

Bước 6.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2}{49}$ .

$- \frac{2}{49}$

Bước 6.3

Tại $0$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.04081632$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$

Giảm trên $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.62752523$ trong biểu thức.

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $1.62752523$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $3$ với $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 7.2.1.3

Trừ $7$ khỏi $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $1.62752523$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $2.64883837$ và $7$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $9.64883837$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Bước 7.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $2$ với $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Bước 7.2.3.2

Chia $1.89303027$ cho $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.00210732$ .

$0.00210732$

Bước 7.3

Tại $1.62752523$ , đạo hàm bậc hai là $0.00210732$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Bước 9