Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) - 1}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{x + h - 1}$ .

$\frac{1}{x + h - 1}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h - 1} - (\frac{1}{x - 1})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{1}{x + h - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{1}{x - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h - 1) (x - 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{1}{x + h - 1}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{1}{x - 1}$ với $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1 - (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.5

Viết lại $\frac{x - 1 - (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1 - x - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1 - x - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - 1 - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1 - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.5.5

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.5.6

Cộng $- h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ vào tử số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Đưa $h$ ra ngoài $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Bước 4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Bước 5.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{x - 1}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- \frac{1}{x - 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h - 1}$

Bước 5.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Bước 5.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Bước 5.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Bước 5.6

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Bước 5.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 1}$

Bước 6

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1}$

Bước 7.1.2

Cộng $x$ và $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Bước 7.2

Nhân $- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1}{x - 1}$ với $\frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{1}{(x - 1) (x - 1)}$

Bước 7.2.2

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}$

Bước 7.2.3

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}$

Bước 7.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1 + 1}}$

Bước 7.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 8