Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Bước 4.2.2.5

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Bước 6.2

Tính $\frac{1}{3} x^{3}$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.2

Nhân $\ln (1)$ với $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 6.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 6.3.6

Để viết $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.7

Kết hợp $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.9

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.10

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 6.3.11.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Bước 7.2.2

Nhân $e^{3}$ với $1$ .

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Bước 7.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Bước 7.2.4

Nhân $- - \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Bước 7.2.4.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Bước 7.2.5

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

Bước 7.2.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

Bước 7.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 7.5

Để viết $e^{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 7.6

Kết hợp $e^{3}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 7.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 7.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Bước 7.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3}$ .

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Bước 7.10

Trừ $e^{3}$ khỏi $3 e^{3}$ .

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

Bước 7.11

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 7.12

Nhân $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1

Nhân $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Bước 7.12.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Dạng thập phân:

$4.57456376 \dots$