Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Bước 2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Bước 2.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

Bước 2.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

Bước 4.2

Tính $\frac{u_{2}}{2}$ tại $e^{4}$ và tại $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Bước 5.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

Bước 5.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.4

Viết lại biểu thức.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

Bước 5.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$4 e^{4} - 4$

Dạng thập phân:

$214.39260013 \dots$

Bước 7