Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2 π} x \sin (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \cos (x) d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 3.2

Nhân $\int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$ với $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + \sin (x)]_{0}^{2 π}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x (- \cos (x))]_{0}^{2 π}$ và $\sin (x)]_{0}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{2 π}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Bước 5.2.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Bước 5.2.2.3

Nhân $0$ với $\cos (0)$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + \sin (0))$

Bước 5.2.2.4

Cộng $0$ và $\sin (0)$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - \sin (0)$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 0$

Bước 5.3.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) + 0$

Bước 5.3.3

Cộng $- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)$ và $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π)$

Bước 5.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π)$

Bước 5.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0)$

Bước 6.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 2 π + 0$

Bước 6.2

Cộng $- 2 π$ và $0$ .

$- 2 π$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 2 π$

Dạng thập phân:

$- 6.28318530 \dots$